四年級(jí)數(shù)學(xué)棄九法例題解析
如果一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個(gè)數(shù)能被9整除；如果一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那么這個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。利用這個(gè)性質(zhì)可以迅速地判斷一個(gè)數(shù)能否被9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。
例如，3645732這個(gè)數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為
3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，
30被9除余3，所以3645732這個(gè)數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。
但是，當(dāng)一個(gè)數(shù)的數(shù)位較多時(shí)，這種計(jì)算麻煩且易錯(cuò)。有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法呢？
因?yàn)槲覀冎皇桥袛噙@個(gè)式子被9除的余數(shù)，所以凡是若干個(gè)數(shù)的和是9時(shí)，就把這些數(shù)劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個(gè)3（如下圖），所以這個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)是3。
這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。
一個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的九余數(shù)。利用棄九法可以計(jì)算一個(gè)數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗(yàn)四則運(yùn)算的正確性。
例1 求多位數(shù)7645821369815436715除以9的余數(shù)。
分析與解：利用棄九法，將和為9的數(shù)依次劃掉。
只剩下7，6，1，5四個(gè)數(shù)，這時(shí)口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下1。所以這個(gè)多位數(shù)除以9余1。
例2 將自然數(shù)1，2，3，…依次無(wú)間隔地寫(xiě)下去組成一個(gè)數(shù)1234567891011213…如果一直寫(xiě)到自然數(shù)100，那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少？
分析與解：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)太大，全部寫(xiě)出來(lái)很麻煩，在使用棄九法時(shí)不能逐個(gè)劃掉和為9或9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配合適當(dāng)?shù)姆治觥Ｎ覀円呀?jīng)熟知
1＋2＋3＋…＋9＝45，
而45是9的倍數(shù)，所以每一組1，2，3，…，9都可以劃掉。在1～99這九十九個(gè)數(shù)中，個(gè)位數(shù)有十組1，2，3，…，9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組1，2，3，…，9，也都劃掉。這樣在這個(gè)大數(shù)中，除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。所以這個(gè)數(shù)除以9余1。
在上面的解法中，并沒(méi)有計(jì)算出這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡(jiǎn)捷的解法。因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)與它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和，與1＋2＋…＋100除以9的余數(shù)相同。
利用高斯求和法，知此和是5050。因?yàn)?050的數(shù)字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個(gè)9余1，故5050除以9余1。因此題中的數(shù)除以9余1。
例3 檢驗(yàn)下面的加法算式是否正確：
2638457＋3521983＋6745785＝12907225。
分析與解：若干個(gè)加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。如果不等，那么這個(gè)加法算式肯定不正確。上式中，三個(gè)加數(shù)的九余數(shù)依次為8，4，6，8+4+6的九余數(shù)為0；和的九余數(shù)為1。因?yàn)?≠1，所以這個(gè)算式不正確。
例4 檢驗(yàn)下面的減法算式是否正確：
7832145-2167953＝5664192。
分析與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（若不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9，然后再減）應(yīng)當(dāng)?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。如果不等，那么這個(gè)減法計(jì)算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3，減數(shù)的九余數(shù)是6，由（9+3）-6＝6知，原題等號(hào)左邊的九余數(shù)是6。等號(hào)右邊的九余數(shù)也是6。因?yàn)?＝6，所以這個(gè)減法運(yùn)算可能正確。
值得注意的是，這里我們用的是“可能正確”。利用棄九法檢驗(yàn)加法、減法、乘法（見(jiàn)例5）運(yùn)算的結(jié)果是否正確時(shí)，如果等號(hào)兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個(gè)算式肯定不正確；如果等號(hào)兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因?yàn)榫庞鄶?shù)只有0，1，2，…，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。所以用棄九法檢驗(yàn)運(yùn)算的正確性，只是一種粗略的檢驗(yàn)。
例5 檢驗(yàn)下面的乘法算式是否正確：
46876×9537＝447156412。
分析與解：兩個(gè)因數(shù)的九余數(shù)相乘，所得的數(shù)的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€(gè)因數(shù)的乘積的九余數(shù)。如果不等，那么這個(gè)乘法計(jì)算肯定不正確。上式中，被乘數(shù)的九余數(shù)是4，乘數(shù)的九余數(shù)是6，4×6＝24，24的九余數(shù)是6。乘積的九余數(shù)是7。6≠7，所以這個(gè)算式不正確。
說(shuō)明：因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，所以當(dāng)余數(shù)為零時(shí)，利用棄九法驗(yàn)算除法可化為用棄九法去驗(yàn)算乘法。例如，檢驗(yàn)383801÷253=1517的正確性，只需檢驗(yàn)1517×253=383801的正確性。
